중학 수학 3학년 · 다섯째 단원
삼각비
국기 게양대의 높이를 올라가지 않고 잴 수 있을까요. 게양대까지의 거리와 꼭대기를 올려본 각만 있으면 돼요. 직각삼각형은 각 하나가 정해지면 변의 비가 정해지기 때문이에요. 그 비에 이름을 붙인 것이 삼각비예요. 삼각형을 키워 보는 것부터 해 봐요.
각이 같으면 비도 같아요
조절하는 판직각삼각형을 크게 그리면 높이 ÷ 빗변도 달라질까요. 손잡이를 끌어 삼각형의 크기를 바꿔 보세요.
사분원에서 읽기
조절하는 판각이 커지면 sin과 cos은 어떻게 변할까요. 사분원 위의 점을 끌어 보세요.
30° · 45° · 60°의 값
선을 잇는 판자주 쓰는 세 각의 삼각비는 두 삼각형에서 나와요. 삼각비의 점에서 값의 점으로 선을 이어 보세요.
올려본 각으로 높이 재기
조절하는 판나무에 올라가지 않고 높이를 재요. 막대를 돌려 나무 끝을 겨눠 보세요.
직접 풀어 보기
판에서 찾은 것으로 풀어요. 숫자는 풀 때마다 바뀌고, 쉬운 문제부터 나와요. 세 개를 맞히면 불이 켜져요.
이 단원에서 가져갈 것
- 직각삼각형에서 한 예각 A가 정해지면 크기와 상관없이 변의 비가 정해져요. sin A = 높이 ÷ 빗변, cos A = 밑변 ÷ 빗변, tan A = 높이 ÷ 밑변.
- 높이는 각 A와 마주 보는 변, 밑변은 각 A 옆에 붙은 변이에요. 삼각형이 돌아가 있어도 이것으로 찾아요.
- 정삼각형의 반은 1 : √3 : 2, 정사각형의 반은 1 : 1 : √2. 그래서 sin 30° = 1/2, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, tan 45° = 1.
- 각이 0°에서 90°로 커지면 sin은 0에서 1로 커지고 cos은 1에서 0으로 작아져요. tan은 0에서 끝없이 커져요.
- 높이 = 밑변 × tan A, 높이 = 빗변 × sin A. 거리와 각만 재면 닿지 않는 높이를 구할 수 있어요.
- 두 변 a, b와 그 사이의 각 C를 알면 삼각형의 넓이는 ½ × a × b × sin C예요.