중학 수학 2학년 · 여덟째 단원
닮음과 피타고라스 정리
해가 기울면 내 그림자도, 나무 그림자도 함께 길어져요. 두 그림자가 같은 비율로 변한다는 것만 알면 나무에 올라가지 않고도 높이를 잴 수 있어요. 모양은 같고 크기만 다른 것, 그것이 닮음이에요. 삼각형을 늘여 보는 것부터 시작해요.
늘이고 줄여도 모양은 그대로
조절하는 판사진을 확대하면 크기는 달라져도 모양은 그대로예요. 청록 삼각형의 금색 꼭짓점을 끌어 늘이고 줄여 보세요.
두 각만 맞추면
조절하는 판닮은 삼각형을 만들려면 무엇을 맞춰야 할까요. 막대 삼각형의 손잡이 둘을 돌려 각을 맞춰 보세요.
나란히 자르면 같은 비
조절하는 판삼각형을 밑변과 나란하게 자르면 두 변이 어떻게 나뉠까요. 금색 점 D를 끌어 보세요.
그림자로 높이 재기
조절하는 판나무에 올라가지 않고 높이를 잴 수 있어요. 해를 끌어 그림자를 움직여 보세요.
길이가 2배면 넓이는 4배
조절하는 판삼각형의 변을 2배로 키우면 넓이도 2배일까요. 금색 꼭짓점을 끌어 처음 조각이 몇 개 들어가는지 세어 보세요.
세 정사각형
조절하는 판직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 그렸어요. 금색 손잡이로 두 변의 길이를 바꾸며 세 넓이를 견줘 보세요.
3, 4, 5로 직각 만들기
조절하는 판막대 둘이 핀으로 묶여 있어요. 청록 막대를 돌려 셋째 변의 길이를 맞추면 어떤 각이 될까요.
직접 풀어 보기
판에서 찾은 것으로 풀어요. 숫자는 풀 때마다 바뀌고, 쉬운 문제부터 나와요. 세 개를 맞히면 불이 켜져요.
이 단원에서 가져갈 것
- 한 도형을 일정한 비율로 늘이거나 줄여 다른 도형과 포갤 수 있으면 두 도형은 닮음이에요. 대응변의 길이의 비(닮음비)가 모두 같고, 대응각의 크기가 각각 같아요.
- 삼각형은 두 쌍의 대응각이 같으면 닮음이에요(AA). 세 쌍의 변의 비가 같을 때(SSS), 두 쌍의 변의 비와 끼인각이 같을 때(SAS)도 닮음이에요.
- 삼각형의 한 변과 나란한 선은 나머지 두 변을 같은 비로 나눠요. 두 변의 중점을 이으면 밑변과 나란하고 길이는 밑변의 반이에요.
- 닮음비가 m : n이면 넓이의 비는 m² : n², 부피의 비는 m³ : n³이에요.
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 제곱의 합은 빗변의 제곱과 같아요. a² + b² = c².
- 거꾸로, 세 변이 a² + b² = c²을 만족하면 그 삼각형은 직각삼각형이에요. 3, 4, 5와 5, 12, 13이 그런 수예요.