중학 수학 3학년 · 셋째 단원
이차방정식
가로가 세로보다 2 m 긴 꽃밭의 넓이가 15 m²예요. 세로는 몇 m일까요. 식으로 쓰면 x(x + 2) = 15, x가 제곱까지 올라간 방정식이 돼요. 이런 방정식은 답이 둘일 수 있어요. 수를 하나씩 넣어 보는 것부터 해 봐요.
넣어서 0이 되면 해
배치하는 판x² − 9 = 0을 참으로 만드는 x는 무엇일까요. 수 칩을 식에 끌어 넣어 하나씩 확인해 보세요.
곱이 0이면 한쪽이 0
조절하는 판(x − 1)(x − 4) = 0의 해는 어떻게 찾을까요. 손잡이로 x를 바꾸며 직사각형이 납작해지는 곳을 찾아보세요.
인수분해해서 풀기
선을 잇는 판곱의 꼴로 바꾸면 해가 바로 보여요. 방정식의 점에서 그 해의 점으로 선을 이어 보세요.
제곱근으로 풀기
조절하는 판(x − 2)² = 4는 인수분해하지 않고도 풀 수 있어요. 수직선에서 가운데로부터 양쪽으로 벌려 보세요.
정사각형을 완성하기
조절하는 판x² + 6x에 얼마를 더하면 완전제곱식이 될까요. 빈 귀퉁이를 1 조각으로 채워 보세요.
공식에 끼워 넣기
배치하는 판어떤 이차방정식이든 푸는 공식이 있어요. 방정식의 a, b, c를 공식의 빈칸에 끌어 넣어 보세요.
직접 풀어 보기
판에서 찾은 것으로 풀어요. 숫자는 풀 때마다 바뀌고, 쉬운 문제부터 나와요. 세 개를 맞히면 불이 켜져요.
이 단원에서 가져갈 것
- 모든 항을 왼쪽으로 옮겨 (x의 이차식) = 0 꼴이 되는 방정식이 이차방정식이에요. 참이 되게 하는 x가 해이고, 해는 보통 둘이에요.
- AB = 0이면 A = 0 또는 B = 0. 그래서 인수분해해서 곱의 꼴로 바꾸면 풀려요. (x − 2)(x − 3) = 0이면 x = 2 또는 x = 3.
- (x − 3)² = 0처럼 두 해가 겹치면 해가 하나예요. 중근이라고 해요.
- x² = q이면 x = ±√q, (x − p)² = q이면 x = p ± √q. 양수와 음수 둘 다 챙겨요.
- x² + bx에 b의 절반의 제곱을 더하면 완전제곱식이 돼요. 이것으로 어떤 이차방정식이든 (x − p)² = q 꼴로 바꿀 수 있어요.
- 근의 공식: ax² + bx + c = 0의 해는 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. 인수분해가 안 돼도 풀려요.