무한에도 큰 무한과 작은 무한이 있을까?

그때 그곳

무한은 수학자들이 조심스럽게 피해온 것이었습니다. 끝없이 이어진다는 뜻으로 쓰기는 해도, 무한 그 자체를 하나의 대상으로 놓고 다루지는 않았죠. 가우스조차 그런 사용법에 반대했습니다.

왜 이 질문이었나

칸토어의 물음은 이랬습니다. 무한한 것들끼리 크기를 견줄 수 있을까.

그의 방법은 어린아이도 아는 것이었습니다. 세지 않고 크기를 비교하려면 하나씩 짝지어보면 됩니다. 남김없이 짝이 맞으면 같은 크기죠.

알아낸 것

자연수와 짝수를 짝지어봅시다. 1에 2, 2에 4, 3에 6. 남김없이 맞습니다. 짝수는 자연수의 절반처럼 보이는데 크기가 같습니다. 부분이 전체와 같은 겁니다.

분수도 마찬가지로 자연수와 짝지을 수 있습니다.

그런데 실수는 달랐습니다. 그는 이렇게 증명했습니다. 실수를 자연수와 남김없이 짝지었다고 해봅시다. 그 목록을 세로로 늘어놓고, 첫 번째 수의 첫째 자리, 두 번째 수의 둘째 자리를 차례로 골라 하나씩 바꿔 새 수를 만듭니다. 이 수는 목록의 어느 것과도 최소한 한 자리가 다릅니다. 그러니 목록에 없습니다.

어떤 목록을 가져와도 빠진 것이 생깁니다. 무한에도 더 큰 무한이 있는 겁니다.

이 카드에 나온 말

대각선 논법무한