5차 방정식에는 왜 근의 공식이 없을까?

그때 그곳

2차 방정식의 근의 공식은 오래전부터 알려져 있었습니다. 3차와 4차는 16세기 이탈리아에서 나왔습니다. 그다음이 문제였습니다.

5차 방정식의 근의 공식은 300년 동안 아무도 찾지 못했습니다. 1824년 아벨이 그런 공식은 존재할 수 없다는 것을 증명했습니다.

하지만 왜 존재할 수 없는지, 그리고 어떤 방정식은 풀리고 어떤 것은 안 풀리는지를 가르는 기준이 무엇인지는 남아 있었습니다.

왜 이 질문이었나

갈루아는 방정식을 보지 않고 해들 사이의 관계를 보았습니다.

어떤 방정식의 해가 다섯 개 있다고 합시다. 이 해들을 서로 자리바꿈해도 그대로 성립하는 관계식이 있습니다. 어떤 자리바꿈은 성립하고 어떤 자리바꿈은 깨뜨립니다.

성립시키는 자리바꿈들만 모아놓으면, 그 모음 자체가 구조를 이룹니다. 두 자리바꿈을 연달아 해도 여전히 그 모음 안에 있고, 되돌리는 것도 그 안에 있습니다. 갈루아는 이 모음을 군이라고 불렀습니다.

그리고 방정식이 근의 공식으로 풀리느냐는, 이 군이 특정한 방식으로 차례차례 쪼개지느냐에 달려 있다는 것을 보였습니다.

알아낸 것

5차 방정식의 군은 그렇게 쪼개지지 않습니다. 그래서 근의 공식이 없습니다. 아직 못 찾은 것이 아니라 있을 수 없는 것입니다.

갈루아는 스무 살에 결투로 죽었습니다. 정치 활동으로 두 번 투옥되었고, 결투의 이유는 지금도 분명하지 않습니다. 결투 전날 밤 친구에게 보낸 편지의 여백에 시간이 없다고 여러 번 적었다는 이야기가 전해집니다.

원고는 앞서 코시와 푸리에에게 보내졌지만 푸리에가 곧 세상을 떠나면서 사라졌습니다. 14년 뒤 리우빌이 남은 원고를 정리해 출판했습니다.

그가 만든 군이라는 개념은 방정식을 훌쩍 넘어섰습니다. 대칭을 다루는 보편적인 언어가 되었습니다. 뇌터는 이 언어로 대칭에서 보존법칙을 끌어냈고, 겔만은 이 언어로 100가지 넘는 입자들을 배열했습니다.

이 카드에 나온 말

군론