개념 풀이

원주율은 어떻게 계산되었나

원의 둘레를 지름으로 나누면 항상 같은 수가 나옵니다. 문제는 그 수가 얼마인지 정확히 적을 수 없다는 것입니다. 2000년 넘게 사람들은 이 수를 조여왔습니다.

이 글이 꿰는 질문들 34분 분량갱신 2026-08-10

지름에 3.14를 곱하면 됩니다. 120 곱하기 3.14는 376.8. 넉넉히 380센티미터쯤 사면 되겠네요.

여기서 곱한 3.14가 원주율입니다. 그리고 이 수의 정체는 생각보다 단순합니다.

직접 해봐도 됩니다. 컵 하나를 놓고 바닥 둘레에 실을 감았다 펴서 재고, 컵의 지름도 재서 나눠보세요. 3.1 언저리가 나올 겁니다. 손이 떨려서 소수점 아래 두 자리를 넘기기는 어렵습니다.

3.14 다음은 왜 안 끝날까

학교에서는 3.14라고 배우고 계산기에는 3.141592…가 뜹니다. 어디까지가 진짜일까요.

놀랍게도 끝이 없습니다. 3.14159265358979… 하고 영원히 이어지며, 되풀이되는 마디도 없습니다. 3분의 1처럼 0.333…이 반복되는 것도 아닙니다. 분수로는 아예 적을 수 없는 수입니다.

그렇다면 문제는 이겁니다. 끝나지 않는 수를, 자를 대볼 수도 없는데, 어떻게 세 자리 네 자리까지 알아냈을까요? 2000년 전 사람들이 이걸 해냈습니다.

여기부터 조금 더

원의 둘레를 재려면 어떻게 해야 할까요. 자는 직선이고 원은 굽어 있습니다. 실을 감았다 펴서 재면 되겠지만, 그렇게 재면 실이 늘어나고 손이 떨립니다. 소수점 아래 두 자리 이상은 나오지 않습니다.

고대 문명들은 대개 3 언저리의 어림값을 썼습니다. 바빌로니아는 3과 8분의 1, 이집트의 파피루스에는 3.16에 해당하는 계산이 남아 있습니다. 실용에는 충분했지만 어디까지 맞는지는 아무도 몰랐습니다.

아르키메데스의 착상은 원을 직접 재지 않는 것이었습니다. 원 안에 다각형을 그려 넣고, 원 밖에도 다각형을 그립니다. 안쪽 다각형의 둘레는 원보다 짧고, 바깥 다각형의 둘레는 원보다 깁니다.

다각형의 둘레는 직선의 합이니 계산할 수 있습니다. 그러면 원주율이 어느 두 수 사이에 있는지 확실하게 말할 수 있습니다. 변의 개수를 늘릴수록 두 값이 가까워지고, 원주율은 그 사이에 갇힙니다.

안쪽과 바깥쪽에서 동시에 조여 들어갑니다. 아르키메데스는 6각형에서 시작해 변을 두 배씩 네 번 늘려 96각형까지 갔습니다. 컴퓨터도 계산기도 없이, 손으로 제곱근을 뽑아가면서요.

중요한 것은 자릿수가 아닙니다. 그는 어림값을 내놓은 것이 아니라 틀릴 수 없는 범위를 내놓았습니다. 그리고 변의 개수를 계속 늘리면 원하는 만큼 좁힐 수 있다는 방법까지 함께 내놓았습니다.

눈여겨볼 것은 이 계산이 서로 떨어진 곳에서 각각 이루어졌다는 점입니다. 조충지가 어떤 방법을 썼는지 적은 원문은 남아 있지 않지만, 얻어낸 값의 정밀도로 미루어 다각형을 극단까지 밀어붙였다고 봅니다.

이 모든 계산에는 자릿수를 쓰는 기수법이 필요했습니다. 소수점 아래 여섯 자리를 다루려면 0이 자리를 지켜줘야 합니다. 원주율 계산의 정밀도는 그 문명이 쓰던 수 체계의 정밀도이기도 했습니다.

17세기에 방식이 완전히 바뀝니다. 다각형 대신 무한히 이어지는 덧셈으로 원주율을 적을 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 항을 더할수록 값이 원주율에 가까워지는 식입니다.

오일러는 이런 급수를 다루는 데 특히 능했습니다. 1부터 시작해 모든 자연수의 제곱의 역수를 끝없이 더하면 원주율의 제곱을 6으로 나눈 값이 나옵니다. 원과 아무 상관없어 보이는 덧셈에서 원주율이 튀어나온 것입니다.

1761년, 원주율을 분수로 적을 수 없다는 것 — 곧 라는 것이 되었습니다. 1882년에는 그보다 강한 사실이 증명됩니다. 원주율은 정수 계수 방정식의 해가 될 수 없다는 것입니다.

이 증명으로 2000년 묵은 문제 하나가 닫힙니다. 자와 컴퍼스만으로 원과 넓이가 같은 정사각형을 그리는 일 — 그것은 어려운 게 아니라 불가능한 일이었습니다.

남은 질문아르키메데스는 답을 몰랐지만 답이 어디와 어디 사이에 있는지는 확실히 알았습니다. 모르는 것을 정확히 모르는 방법을, 우리는 어디에 쓸 수 있을까요?