적분이란 무엇인가 — 잘게 썰어 다 더하기

방법이 있습니다. 땅을 세로로 잘게 썰어보세요.

폭 1미터짜리 띠로 쭉 나누면, 띠 하나하나는 거의 직사각형입니다. 강 쪽 끝이 살짝 기울어 있지만 폭이 1미터밖에 안 되니 오차가 작죠. 띠마다 세로 길이를 재서 넓이를 구하고, 전부 더합니다.

그런데 여기서 이상한 일이 벌어집니다. 띠를 무한히 좁게 만들면 띠 하나의 넓이는 0에 가까워지는데, 띠의 개수는 무한히 많아집니다. 0을 무한히 더하는 셈이죠. 그런데도 합계는 정확한 하나의 값에 다가갑니다.

미분과 무슨 관계인가

미분이 '지금 얼마나 빠르게 변하나'를 물었다면, 적분은 반대입니다. '그동안 얼마나 쌓였나'를 묻습니다.

이게 왜 대단하냐면 — 잘게 썰어 더하는 일은 무척 번거롭지만, 미분은 규칙만 알면 기계적으로 됩니다. 둘이 되돌리는 관계라면, 번거로운 쪽을 쉬운 쪽으로 바꿔 풀 수 있습니다. 무한히 더하는 문제가 거꾸로 미분해보는 문제가 되는 겁니다.

여기부터 조금 더

직사각형 땅의 넓이는 가로 곱하기 세로입니다. 그러면 강가의 구불구불한 땅은 어떻게 잴까요. 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구하는 공식은 없습니다.

그런데 방법은 있습니다. 잘게 썰어서 직사각형으로 근사하는 것입니다. 좁은 직사각형을 촘촘히 세워 채우면 실제 넓이에 가까워집니다. 그리고 더 촘촘하게 썰수록 더 가까워집니다.

2000년 전의 방법

아르키메데스는 이 방법을 이미 쓰고 있었습니다. 그는 포물선으로 잘린 도형의 넓이를 구했습니다. 삼각형을 채워 넣고, 남는 틈에 더 작은 삼각형을 채워 넣고, 또 그 틈에 더 작은 것을 채우는 식으로요.

그가 구한 답은 정확했습니다. 그런데 이 방법은 도형마다 다른 요령이 필요했습니다. 포물선에서 통한 방법이 다른 곡선에서 통하지 않았습니다. 매번 새로 궁리해야 하는 기술이었지, 아무나 쓸 수 있는 절차가 아니었습니다.

케플러도 비슷한 방법을 썼습니다. 그가 풀어야 했던 문제는 행성이 타원 궤도를 돌 때 일정 시간에 쓸고 지나가는 부채꼴의 넓이였습니다. 그리고 그는 술통의 부피를 재는 문제에도 같은 방법을 적용했습니다. 통을 얇은 원판으로 썰어 더한 것입니다.

둘이 하나였다

결정적인 것은 넓이를 구하는 새 요령이 아니었습니다. 넓이 구하기와 기울기 구하기가 서로를 되돌리는 관계라는 발견이었습니다.

1. 어떤 곡선 아래의 넓이를, 오른쪽 끝을 조금씩 밀면서 생각합니다.
2. 끝을 조금 밀면 넓이는 얇은 세로 띠만큼 늘어납니다.
3. 그 띠의 넓이는 (곡선의 높이) × (민 거리) 입니다.
4. 즉 넓이가 늘어나는 속도는 곧 그 자리의 곡선 높이입니다.
5. 넓이를 미분하면 원래 곡선이 나온다는 뜻입니다.

이것이 미적분학의 기본정리입니다. 넓이를 구하려면 잘게 썰어 더할 필요가 없습니다. 미분하면 그 곡선이 되는 함수를 찾으면 됩니다. 무한히 많은 조각을 더하는 문제가, 거꾸로 미분해보는 문제로 바뀐 것입니다.

넓이를 넘어서

적분이 구하는 것이 넓이만은 아닙니다. 잘게 나눈 것을 다 더하는 구조라면 무엇이든 적분입니다.

푸리에는 여기서 더 나갔습니다. 어떤 복잡한 파형이든 단순한 사인파의 합으로 적을 수 있다는 것인데, 그 사인파들의 크기를 구하는 방법이 적분입니다. 오늘날 음악 파일 압축, 이미지 압축, 통신이 모두 이 계산 위에 서 있습니다.

남은 질문무한히 많은 것을 다 더했는데 값이 유한합니다. 끝없이 더하는데 끝이 있다는 것을, 우리는 어떻게 받아들이게 된 걸까요?