미분이란 무엇인가 — 순간의 변화를 재다

평균은 그 안에서 일어난 일을 전부 지웁니다. 그러니 물어야 할 것은 이겁니다. 지금 이 순간의 속도는 얼마인가.

자동차 계기판 바늘이 가리키는 그 값이요. 그런데 이게 생각보다 이상한 값입니다.

그럼 어떻게 하나

간격을 줄여가며 재봅니다. 1시간 동안의 평균, 1분 동안의 평균, 1초 동안의 평균, 0.001초 동안의 평균.

구간이 짧을수록 그 안에서 속도가 변할 여지가 줄어드니, 값은 점점 한 자리로 모입니다. 예를 들어 이렇게요.

그리고 이 방법은 속도에만 쓰이는 게 아닙니다. 무엇이든 '지금 얼마나 빠르게 변하고 있나'를 묻는 자리라면 똑같이 쓰입니다. 오늘 확진자가 몇 명 늘고 있나, 물건 하나를 더 만들면 비용이 얼마나 늘어나나, 이 언덕은 지금 얼마나 가파른가.

여기부터 조금 더

서울에서 부산까지 400km를 4시간에 갔다면 평균 속도는 시속 100km입니다. 그런데 중간에 휴게소에 들렀다면 그때 속도는 0이었고, 어느 순간에는 시속 120km였을 수도 있습니다. 평균은 그 안에서 일어난 일을 다 지웁니다.

그러면 '지금 이 순간의 속도'는 어떻게 정의할까요. 시간 간격을 줄여가면 됩니다. 1시간 대신 1분, 1초, 0.001초. 짧을수록 그 구간의 평균 속도는 순간 속도에 가까워집니다.

그런데 끝까지 밀어붙여 간격을 0으로 만들면, 이동 거리도 0이 되어 0 나누기 0이 됩니다. 여기가 2000년 동안 걸려 있던 자리입니다.

먼저 그림으로 그린 사람

14세기 파리의 오렘은 변하는 양을 그림으로 그렸습니다. 가로축에 시간, 세로축에 속도를 놓고 도형을 그린 것입니다. 지금 보면 당연하지만 당시에는 새로운 발상이었습니다. 변화를 눈으로 볼 수 있는 모양으로 바꾼 것이니까요.

데카르트가 좌표를 도입하자 이 그림이 계산 가능한 것이 됩니다. 곡선이 식이 되고, 식이 곡선이 됩니다. 이제 '순간의 속도'는 '곡선의 어느 한 점에서의 기울기'라는 기하 문제로 바뀝니다.

할선을 접선으로

곡선 위 두 점을 직선으로 이으면 그 직선의 기울기는 두 점 사이 평균 변화율입니다. 두 점을 점점 가까이 붙이면 직선이 곡선에 붙어갑니다. 두 점이 하나가 되는 극한에서 남는 직선이 접선이고, 그 기울기가 순간 변화율입니다.

두 사람, 같은 시기

뉴턴은 1660년대에 이 방법을 만들었습니다. 그가 풀려던 문제는 물체의 운동이었습니다. 행성이 어느 순간 어느 방향으로 얼마나 빨리 가는지를 알아야 궤도를 계산할 수 있으니까요. 그는 이것을 유율법이라 부르고 오래 발표하지 않았습니다.

라이프니츠는 1670년대에 독립적으로 같은 것에 도달했습니다. 그리고 먼저 발표했습니다. 지금 우리가 쓰는 기호 대부분은 라이프니츠의 것입니다. 그가 기호 설계에 훨씬 신경을 썼기 때문입니다.

우선권 논쟁은 두 사람의 죽음 뒤까지 이어졌고, 영국 수학계는 자존심 때문에 뉴턴의 불편한 기호를 백 년 넘게 고집하다 대륙에 뒤처집니다. 기호를 잘 만드는 일이 왜 중요한지 보여주는 사례입니다.

무엇에 쓰이나

미분이 답하는 질문은 하나의 모양을 하고 있습니다. 지금 이 순간, 얼마나 빠르게 변하고 있는가.

어떤 양이든 시간이나 다른 양에 따라 변한다면 미분할 수 있습니다.

그리고 기울기가 0이 되는 자리를 찾으면 최댓값이나 최솟값이 나옵니다. 산의 꼭대기에서는 땅이 평평하니까요. 무엇을 가장 크게 또는 가장 작게 만들지를 찾는 모든 문제가 이 방법으로 풀립니다.

남은 질문순간의 속도는 실제로 존재하는 것일까요, 아니면 우리가 계산할 수 있도록 정의해낸 것일까요?