쿠르트 괴델
수학은 스스로 완전할 수 있을까?
그때 그곳
힐베르트에게는 계획이 있었습니다. 수학 전체를 몇 개의 공리 위에 빈틈없이 다시 세우고, 그 체계에 모순이 없음을 증명하자는 것이었죠. 그리고 참인 명제라면 언젠가는 반드시 증명할 수 있어야 한다고 믿었습니다.
그는 이렇게 말했습니다. 우리는 알아야 하고, 알게 될 것이라고요.
왜 이 질문이었나
괴델이 한 일은 뜻밖의 것이었습니다. 그는 명제 하나하나에 고유한 수를 붙이는 방법을 고안했습니다.
그러면 명제에 관한 이야기를 수에 관한 이야기로 바꿀 수 있습니다. 수학이 자기 자신에 대해 말할 수 있게 되는 겁니다.
알아낸 것
이 도구로 그는 이런 뜻의 명제를 만들어냈습니다. 이 명제는 이 체계 안에서 증명될 수 없다.
따져봅시다. 만약 이것이 증명된다면, 증명될 수 없다고 말하는 명제를 증명한 셈이니 체계에 모순이 있습니다. 반대로 체계에 모순이 없다면 이 명제는 증명될 수 없고, 그렇다면 이 명제가 말하는 내용이 바로 참입니다.
참인데 증명할 수 없는 명제가 존재합니다.
두 번째 정리는 더 나갔습니다. 어떤 체계도 자기 자신에게 모순이 없다는 것을 스스로 증명할 수 없습니다.
힐베르트의 계획은 끝났습니다.
이전 생각
참인 것은 언젠가 반드시 증명할 수 있다
증거
명제에 수를 붙여 수학이 자기 자신을 말하게 만든 방법
그 뒤
자기 자신을 가리키게 만드는 이 방법은 5년 뒤 튜링에게로 이어집니다. 괴델은 말년에 누군가 자기를 독살하려 한다는 생각에 사로잡혀 음식을 거부하다 세상을 떠났습니다