다비트 힐베르트 · 23개의 문제
수학이 스스로 모순 없음을 증명할 수 있을까?
그때 그곳
1900년 파리에서 국제수학자대회가 열렸습니다. 새 세기가 시작되는 해였습니다.
힐베르트는 앞으로 수학이 풀어야 할 문제들의 목록을 발표했습니다. 강연에서는 열 개를 말했고, 인쇄본에는 스물세 개를 실었습니다.
목록의 힘은 문제를 고른 안목에 있었습니다. 이후 100년 동안 이 목록에 든 문제를 푸는 것이 수학자가 받을 수 있는 가장 큰 명예가 되었습니다.
왜 이 질문이었나
그중 두 번째 문제가 특별했습니다. 산술의 공리들이 서로 모순되지 않는다는 것을 증명하라는 것이었습니다.
이상하게 들릴 수 있습니다. 1 더하기 1이 2라는 산술이 모순될 리가 있겠습니까. 그런데 19세기 말 집합론에서 역설이 잇따라 나오면서, 당연해 보이던 바닥이 실은 당연하지 않다는 것이 드러난 참이었습니다.
힐베르트의 계획은 이랬습니다. 수학 전체를 유한한 개수의 공리에서 출발해, 뜻을 따지지 않고 기계적인 규칙만으로 끌어낼 수 있는 체계로 다시 세운다. 그런 다음 그 체계 안에서, 그 체계가 모순을 낳지 않는다는 것을 증명한다.
그러면 수학은 영원히 안전해집니다.
알아낸 것
1930년 가을, 쾨니히스베르크에서 그는 은퇴 기념 연설을 했습니다. 마지막 문장은 우리는 알아야 한다, 우리는 알게 될 것이다였습니다. 라디오로 방송되었고 녹음이 남아 있습니다.
바로 전날, 같은 도시에서 열린 학회에서 스물네 살의 괴델이 짧은 발표를 했습니다. 충분히 강한 체계 안에는 참이지만 그 체계 안에서 증명할 수 없는 명제가 있다는 것이었습니다. 그리고 그런 체계는 자기가 모순 없다는 것을 스스로 증명할 수 없습니다.
두 번째 문제는 답이 없다는 답을 받았습니다.
그런데 계획이 무너지면서 다른 것이 나왔습니다. 힐베르트가 요구한 기계적인 규칙만으로라는 조건을 정확히 정의하려던 시도에서, 튜링은 규칙을 따라 기호를 고쳐 쓰는 기계를 생각해냈습니다. 컴퓨터의 개념이 여기서 나왔습니다.
스물세 개 중 아직 풀리지 않은 것이 남아 있습니다. 여덟 번째, 리만 가설입니다.
수학은 원리상 완전하며, 참인 명제는 모두 증명될 수 있다
없다 — 이것은 발견이 아니라 목록이었고, 그 목록이 100년의 방향을 정했다
괴델이 두 번째 문제에 불가능으로 답하고, 그 물음을 정확히 만들려는 시도에서 계산 기계의 개념이 나온다