√ 가 뜻 없는 모자 기호로 보였다면, 원인은 대개 기호가 아니라 제곱과 넓이가 이어진 적이 없어서입니다. x² 은 「엑스 제곱」이기 전에 한 변이 x 인 정사각형의 넓이입니다. 그러면 √ 는 자연히 정해집니다 — 넓이에서 변을 거꾸로 찾는 일. 직접 키워 보십시오.
첫 번째 손잡이 — 거꾸로
변을 알면 넓이는 쉽습니다 — 곱하면 되니까요. 어려운 건 거꾸로입니다. 넓이를 먼저 정하고 변을 물으면, 어떤 넓이에서는 답이 아는 수로 끝내 적히지 않습니다.
넓이 25 의 변은 5 — 옛 수로 딱 떨어집니다. 그런데 넓이 2 의 변은 1.41421356… 어디서도 끝나지 않고, 되풀이되지도 않습니다. 그래서 새 기호가 필요했습니다. √2 는 「계산이 덜 끝난 수」가 아니라, 「제곱하면 2가 되는 바로 그 길이」의 이름입니다. 기호가 어려운 게 아니라, 이름 붙일 수밖에 없었던 사정이 있는 것입니다.
두 번째 손잡이 — 자리
끝까지 쓸 수 없는 수라면 수직선 어디에 「있다」고 말할 수 있을까요. 한 변이 1 인 정사각형의 대각선을 재 봅니다 — 넓이로 셈하면 대각선의 제곱은 1² + 1² = 2. 즉 대각선의 길이가 바로 √2 입니다. 이제 그 대각선을 컴퍼스로 수직선에 눕혀 보십시오.
가장 끈질긴 분수들도 스치기만 합니다
자로는 한 번에 긋는 길이를, 소수로는 영원히 다 적지 못합니다. 그래도 자리는 정확히 하나입니다 — 1.4 와 1.5 사이, 1.41 과 1.42 사이, 조여 들어가면 결국 점 하나. 분수(유리수)만으로는 수직선에 이런 빈틈이 무수히 남아 있었고, 그 틈을 마저 채운 수를 무리수라 부릅니다. 음수가 0 왼쪽 땅을 열었다면, 제곱근은 수직선의 빈틈을 메운 것입니다 — 수의 두 번째 확장.
이 발견은 한때 비밀이었다
「모든 것은 수(분수)다」라고 믿은 사람들에게, 분수로 적을 수 없는 길이의 발견은 축복이 아니라 사고였습니다.
히파소스의 전설
정사각형의 대각선이 변과 「같은 자」로 잴 수 없음을 처음 증명한 것은 피타고라스 학파로 전해집니다. 발견자 히파소스가 이 비밀을 누설해 바다에 던져졌다는 이야기는 전설입니다만 — 그만큼 충격이었다는 뜻으로 이천 년을 살아남았습니다.
√
지금의 뿌리 기호는 16세기 독일의 수학책에서 퍼졌습니다. 라틴어 radix(뿌리)의 r 를 흘려 쓴 모양이라는 설명이 널리 전해집니다 — 제곱근을 「뿌리」라 부르는 것도 여기서 왔습니다.
빈틈없는 수직선
무리수까지 넣은 수직선이 정말로 빈틈없다는 것을 엄밀히 세운 것은 19세기에 와서입니다. 발견에서 완성까지 이천 년 — 「그 길이는 어디에 있는가」라는 질문이 그만큼 깊었던 것입니다.
√2 앞에서 느끼는 어지러움은 이천 년짜리 어지러움입니다. 학파 하나가 세계관을 걸었던 문제를, 우리는 시험 범위로 만납니다 — 낯설었다면 그쪽이 정상입니다.
√2 가 왜 특별한지, 증명이 무엇을 하는 일인지.
용어집 전체 보기 →여기에 연습문제는 없습니다. 넓이 2 에서 변이 끝나지 않는 것을 보고, 대각선이 수직선의 한 점에 정확히 눕는 것을 봤다면, 이 페이지가 할 일은 끝났습니다.
음수가 0 왼쪽을 열고, 제곱근이 빈틈을 메워 — 수직선이 이제 가득 찼습니다. 그런데 마지막 절벽은 수직선 위에 있지 않습니다. 「내일 비 올 확률 70%」 — 아직 일어나지도 않은 일을 잰다는 건 도대체 무슨 뜻일까요? 절벽 4번, 확률입니다.