함수 — 하나 넣으면 꼭 하나 나온다

첫 번째 손잡이 — 약속

자판기 버튼 하나에 음료 둘이 나온다면

계보도의 절벽 2번 카드가 던진 질문입니다. 여기서 직접 눌러서 답해 봅니다. 먼저 멀쩡한 자판기입니다 — 같은 버튼을 몇 번을 눌러도 같은 것이 나옵니다.

고장 난 자판기는 같은 버튼에서 다른 것이 나옵니다. 그 순간 이건 자판기가 아니라 뽑기 기계가 됩니다 — 그리고 수학의 말로는, 함수가 아니게 됩니다. 함수의 정의는 이게 전부입니다. 하나의 입력에 꼭 하나의 출력이 정해지는 대응. 번호를 넣으면 음료가 나오듯, 수를 넣으면 수가 나오게 한 것뿐입니다.

두 번째 손잡이 — 세 얼굴

x 하나를 끌면, 셋이 같이 움직인다

그래프가 암호처럼 보였다면, 원인은 대개 f(x) 가 아니라 좌표평면입니다 — 순서쌍 하나가 점 하나라는 감각이 빠진 것입니다. 아래에서 x 를 끌어 보십시오. 표의 순서쌍, 식의 계산, 평면 위의 점이 같은 하나라는 것이 손에 잡힙니다.

기계를 「제곱」으로 바꾸고 x 를 끝에서 끝까지 끌어 보십시오. 발자국이 휩니다. 저 휜 자국에 나중에 「포물선」이라는 이름이 붙지만, 이름은 몰라도 됩니다 — 지금은 그저, 규칙이 다르면 발자국 모양이 다르다는 것. 여러분이 앞으로 만날 모든 그래프가 이 발자국의 친척입니다.

이 약속에도 이름이 붙기까지 이백 년

함수라는 말은 어디서 왔나

행성의 위치, 끓는 물의 온도, 대포알의 높이 — 시간에 따라 변하는 양을 다루려면 「하나가 정해지면 다른 하나가 정해진다」는 관계 자체에 이름이 필요했습니다.

식에서 출발한 개념이 「대응」이라는 약속으로 정리되기까지 이백 년. 학교가 이 순서를 거꾸로 — 정의부터 — 가르치니 어렵게 느껴지는 것도 무리가 아닙니다.

이 자리는 계보도의 어디인가

• 이 마디 — 「함수의 뜻」. 계보도의 절벽 2번이고, 좌표평면 위에 얹힙니다. 그래프가 안 보이면 먼저 좌표평면 마디로 되돌아가는 것이 빠릅니다.
• 여기서 이어지는 곳 — 일차함수 · 이차함수 · 함수와 그래프. 미분까지 가는 큰길이 여기서 시작됩니다.
• 세 기계 — 2배 하고 1 더하기(y=2x+1) · 제곱(y=x²) · 6에서 빼기(y=6−x). 각각 일차함수 둘과 이차함수 하나입니다만, 이 페이지에서는 이름 없이 발자국으로만 만납니다.

여기에 연습문제는 없습니다. x 를 끌 때 표와 식과 점이 같이 움직이는 것을 한 번 보셨다면, 이 페이지가 할 일은 끝났습니다.