확률 — 일어나지 않은 일을 재다

첫 번째 손잡이 — 기억

아홉 번 모두 앞면이었습니다. 열 번째는?

여기, 방금 아홉 번 연속 앞면이 나온 동전이 있습니다. 「이제 뒷면이 나올 차례」라는 목소리가 마음속에서 들린다면 — 정상입니다. 대부분 그렇게 느낍니다. 자, 열 번째를 직접 던져 보십시오. 몇 번이고요.

쌓일수록 반반 근처로 갑니다. 뒷면이 「차례」였던 적은 한 번도 없습니다 — 동전은 앞의 아홉 번을 모릅니다. 기억이 없는 것에 차례가 있을 리 없지요. 이 착각(도박사의 오류)은 부끄러운 게 아니라 사람 직관의 기본값입니다. 확률이 계산으로 발명된 이유가 바로 이것입니다 — 느낌은 여기서 믿을 것이 못 되니까.

두 번째 손잡이 — 분모

직관 대신 세는 법

주사위 두 개를 던져 합을 봅니다. 합 7 과 합 12 — 「둘 다 그냥 숫자 하나인데 나올 가능성도 비슷하지 않을까?」 확인해 봅시다. 확률의 전부는 분수 하나입니다. (그 경우의 수) ÷ (모든 경우의 수). 아래 격자가 그 분모, 「모든 경우」 서른여섯 칸입니다.

합 7 로 가는 길은 여섯 칸, 합 12 로 가는 길은 한 칸 — 같은 「숫자 하나」라도 길의 개수가 다릅니다. 분모 36 이 눈에 보이는 순간 직관은 더 이상 필요 없습니다. 세면 되니까요. 확률에서 길을 잃는 지점은 거의 언제나 분자가 아니라 분모입니다 — 「모든 경우」가 몇 칸인지 놓치는 순간부터 어긋납니다.

이 계산은 도박 빚 문제에서 태어났다

우연을 계산하기까지

주사위는 수천 년 전부터 있었습니다. 우연을 계산한 것은 사백 년이 안 됩니다.

도박 빚 문제에서 태어난 계산이 사백 년 만에 문명의 판단 기준이 됐습니다. 직관이 배신하는 곳이라 계산이 필요했고, 계산이 필요한 곳이라 가장 쓸모 있어진 것입니다.

이 자리는 계보도의 어디인가

• 이 마디 — 「확률」. 계보도의 마지막 절벽, 4번입니다. 분수와 경우의 수 위에 얹힙니다 — 격자 장면이 보여주듯 확률은 결국 분수입니다.
• 여기서 이어지는 곳 — 조건부확률(이미 일어난 일을 알고 나면 확률은 어떻게 변하는가) · 확률분포와 통계적 추정, 그리고 그 길 끝의 「AI 는 왜 확률로 답하는가」.
• 역사 기록 — 1654년 파스칼–페르마 서신(분배 문제)은 확률론 탄생의 표준 서술입니다. 도박사의 오류는 인지 편향 연구의 고전적 사례입니다.

여기에 연습문제는 없습니다. 열 번째 동전이 아홉 번을 모른다는 것을 겪어 보고, 분모 서른여섯 칸을 눈으로 세어 봤다면, 이 페이지가 할 일은 끝났습니다.